九九を覚えるだけで全ての小数のかけ算ができる理由

はじめに

九九は小学校2年生で学ぶ算数最初の難関である。誰もが何度も暗唱したり、紙に書いたり、はたまた歌に合わせたり、苦労して九九を覚える。10以上の数や小数のかけ算になると、九九ほど何かを覚えるわけでもなく、筆算やらそろばんで任意の小数のかけ算ができるようになる。人力では手に負えない計算も電卓がやってくれるし、膨大な回数のかけ算と足し算をコンピュータがやって現代社会は回っている。

ところで、ふと疑問に思ったことはないだろうか。

「たった個の計算を覚えるだけで、どうして無限にある小数のかけ算が可能になるのだろうか。」

思えば、義務教育では「筆算のやり方」は教わるけれども、その根拠はあまりはっきり教えてもらえない。0.001から1億くらいまでのかけ算は教わるけども、その範囲を外れてかけ算ができるのかはわからない。でも九九とその他諸々を覚えれば計算はできるし社会はそうして回っている。なぜなのだろうか。

注：この記事では「有限小数で表すことのできる数」を小数と呼び、その範囲で話をします。つまり分数や無理数の話はしません。

そもそも「小数」って何よ

かけ算の話をするには、まず「数字って何」という話をしなければならない。

数とは我々が勝手に考えた概念だが、「何を満たせば数だ」と決めることができるだろうか。数の具体例を挙げて考えてみよう。 1、77、269、3.14、8.10、11.4514、... といくつか考えてみたが、どうやら以下のことが言えれば小数と言えそうである。 「0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の9つの記号を並べたものである。」 この「並べる」というところをもう少し見てみよう。77は だ。3.14は高校で学ぶ負の指数を用いればだ。この「10」というものの中身には立ち入らないことにして、次のように決めればすべての小数を表現できそうだ。

定義1

小数とは、次のように表現できる数のことを言う。

ただしは0から9までのいずれかの数字である。二行目は高校数学で出てくる総和の記号だが、簡単に言うと「何かの数字を10の何乗かして足して、を繰り返したもの」ということだ。

このようなの集まりを大学以上の数学の言葉で言うと、集合上で集合 を基底とするベクトル空間といい*1、ベクトル空間に属するものをベクトルと呼ぶ。高校数学ではベクトルと言えば矢印だが、それは厳密には幾何ベクトルというものでベクトルの一種である。

ここでは「」という記号を使っているが、今は「数字とを結びつける記号」という意味しかない。

10進法では九九だけ覚えればよい

ここで、数とのかけ算を考えてみよう。

ベクトルは「ベクトル空間の公理」というものを満たす。公理というと何やら難しそうだが、言ってることは実はざっくり言えば「小学校で学ぶ交換法則、結合法則、分配法則が成り立つ」ということと「0、1に相当するものがある」といったものだ。

ベクトル同士のかけ算は内積というのだが、ここではかけ算のことである。内積についても分配法則は成り立つ。321と4857のかけ算を計算してみよう。

ここで交換法則と分配法則、結合法則を用いている。

これを の形に書き直せれば、定義1を使って計算を終えることができる。そこでこれと最後の行の式を見比べてみると

• のように数字同士のかけ算を数字にする
• のように同士のかけ算をにする

の二つの決まりが決まればよいということがわかる。後者は単に指数法則から とすればよい。

ここまで来たらわかるだろう。そう、前者こそがまさに「九九」なのである*2。実際には繰り上がりがあるので足し算の九九も決める必要があるが、ここに足し算、かけ算の九九と指数法則があれば任意の小数のかけ算は実行可能であることが示された。

ところで：なんで「九九」なのか

ここまで10進数の話をしてきた。世の中には10以外の進法もある。

たとえば、コンピュータは2進数を使っている。この場合は小数の表し方はこうなる。

ここでははの2つしかない。つまり足し算とかけ算のそれぞれでの4通りの結果を覚えればよい。九九を覚えるのが嫌な小学生はコンピュータになればいいのかも知れない。

一般に進法では通りの結果を覚えればよい。我々の祖先が10進法を採用したことはラッキーなのかも知れないし、アンラッキーなのかも知れない。10というのは人間の演算能力が決めたのだろうか。

追記：冷静に考えたら「人間の手の指が合わせて10本だから」だった。つまり人類の手の指の本数によっては8進数や12進数になっていた可能性もある。

補足：スカラー倍と内積について

厳密には、ベクトルでかけ算に相当するものは「スカラー倍」と「内積」がある。

ベクトル空間では足し算とスカラー倍について交換法則や分配法則が成り立つと定義していて内積が存在するかは触れていない。一方、内積とは、ベクトル同士の二項演算で交換法則、双線形性などを満たすものとして定義される。

つまりスカラー倍と内積は別の概念で、この記事ではスカラー倍に該当するものを、内積に該当するものをと一応使い分けている。この記事でスカラーの集合に対応するものはで、基底がである。

*1:「線形空間」などともいいます。

*2:正確には九九に0の段を足したもの。

原付二種（MTバイク）にしないほうがいい人

何度となく言っていることですが、「原付二種」と呼ばれる125ccのバイクは維持費の安さや扱いやすさから人気です。先日スズキから国内向け新車種のGSX-125Sの発売が発表されるなど盛り上がっています。僕もそんな125ccの魅力に取りつかれた一人です。

ですがどんなものにもあるように、125ccバイクに向かない人もいます。あまり取り上げられることもないのですが、すこし考えてみたいと思います。

※この記事はMTオートバイがほしい人向けの記事です。

1.親の反対に譲歩して小型にしようと思っている人

自分の子供がバイクに乗ると言い出すと「危ないから」と反対する親御さんは多いです。その気持ちもとてもよくわかります。とはいえ「バイクに乗りたい」という気持ちは抑えられないものですから、しぶしぶOKをもらって買うとか、中には反対を押し切って買う人もいるでしょう。その場合に譲歩して小さい125ccにということもあると思います。

125ccのメリットのひとつに「任意保険が自動車保険のファミリーバイク特約で安く済ませられる」ということがあります。任意保険は単独で加入すると年数万かかるので、特にお金のない学生ならこれがあるので125ccだけみたいな人もいるでしょう。

ですが、学生さんの場合なら親の自動車保険につけることになるかと思いますが、つまりバイクをよく思っていない親御さんに、バイクに乗るための手続きをやってもらわないといけないということです。僕自身、免許は親にしぶしぶ了承を得ましたが、親が保険の手続きしてくれなかったので自分で単独で任意保険に入ることになりました。

つまり親御さんに協力してもらえなければ保険料は結局250cc以上と大して変わらない額を支払うことになります。保険料だけで排気量を我慢するなら最初からほしいバイクを買うべきです。

2.振動が嫌な人

エンジンの振動はバイクの醍醐味でもありますが、あまりにひどいと乗り心地が悪いということにもなります。

僕がよく読んでいるブログに、このような記事があります。
tinspotter.net

僕の乗っているYBR125は、バランサーがついており125ccの中では振動の少ないバイクですが、それでも60km/hを超えると振動が出てきます。乗って間もないころはバイパスを長時間走ったあとは振動で手がしびれることが多々ありました。

125ccなら振動は覚悟しなければなりません。ちなみに、僕は今となってはバイパスを長距離走った後に街中に入るとむしろ振動がなさすぎて「あれ？物足りないなあ」と感じます。物は考えようですが、最初に手がしびれる段階で「もう乗りたくない！」と乗らなくなるようであればやめた方がいいです。

排気量を増やすとあまり回さなくても加速できるので多少は振動はマシになります。*1

3.よく使うルートに高速道路・自動車専用道路がある人

別記事にもしましたが、125ccは高速道路、自動車専用道路を通行できません。

bluepost69.hatenablog.com

「これまで自動車を使っていたけどバイクで通勤通学したい」という場合は特に気を付けなければなりません。高速道路はわかりやすいですが、一般道でも一部自動車専用道路で125ccが走れない場合があるので、よく使うルートがある場合は事前に調べておきましょう。

また、よく使うルートがないとしても、国道沿いを延々走っていたら突然自動車専用道路になって迂回を余儀なくされたというようなこともよくあるので、それが嫌な人はもっと大きいバイクにする必要があります。またツーリングで「疲れたから帰りだけ高速道路で帰ろう」といった手段が使えません。

ちなみに、逆に有料だけど125ccでも走れる道路もあります。たいてい原付二種は10円くらいで走れます。これも要調査です。

まとめ：125ccはよく調べて買いましょう

原付二種は上記のように制約も多いバイクですが、賢く使えばとてもリーズナブルでよいバイクとも言えます。リッター50km走れる乗り物なんてそうありませんし、保険に限らず税金や車体価格、自賠責保険料も安く、チェーンなどの消耗品も大排気量に比べると安いです。

無論、125ccでもほしいバイクがあるならそのバイクにすればいいと思います。ただ「安いから」「小さくて安心だから」という安直な理由で選ぶと後悔することもあるので、よく調べて買いましょう。

*1:とはいえ250ccで高速に乗るとかギリギリまで回すような乗り方をすると振動は仕方がありません。振動のないバイクを求めるなら400ccとか大型二輪ということになるかと思います。

リアボックスを使って思ったこと

今回はトップケース・リアボックス・ハコなどと呼ばれるパーツについて考えてみます。

リアボックスは実は「手軽」ではない

リアボックスのメリットでよく言われるのは「手軽に荷物を積めるようになる」ということです。これは確かに買い物ではあたっていると思います。買ったものをそのまま放り込んで帰ることができます。

ですが、気を付けないといけないところも結構あります。まず気をつけるべきは中で荷物が跳ねるということです。一度牛丼弁当を持ち帰って、帰って開けたらぐちゃぐちゃになってたことがあります（上に何か載せておくと防げます）。スーパーで買った卵とかを持って帰ろうものなら悲惨なことになるのは目に見えています。

またハコには重量制限があります。結構これが厳しいです。僕の使っているものは3kgまでということになっています。ペットボトルの飲み物を2,3本買いだめすると余裕で超えてしまいます。そのため買い物をするときは重さに気を使います。

ツーリングではむしろ手軽ではありません。止まらないと中の荷物にアクセスできません。それを考えると信号待ち程度の時間でも挟んであるペットボトルにアクセスできるツーリングネットのほうが便利です。

最大のメリットは「施錠」と「防水性」

ではリアボックスはなぜ便利なのでしょう。

最大のメリットは施錠できることです。ツーリングではバイクを離れて休憩することも多いですが、財布やスマホなど必要最小限の荷物だけを持って離れることができます。

また、雨具や車載工具など携行品を積みっぱなしにすることもできます。特に雨具に関しては忘れたときに雨が降ってくるととても困りますが、安い緊急用のカッパを積みっぱなしにできるので安心できます。

さらに雨が降ってきたときに濡れるとまずいものを避難させることができます。完全防水ではありませんが、雨は土砂降りでもほとんど水が入ることはありません。

リアボックスは「ダサい」のか？

リアボックスは、ライダーの美学が現れる部分のひとつです。というのもバイクによってはリアボックスを付けることでとんでもなくダサくなってしまうことがあるからで、人によっては「リアボックスは全面的にダサい」という人もいます。

おそらく、全面的にダサいと思う人は、リアボックスがおっちゃんおばちゃんが乗ってるスクーターについているイメージが強いんだと思います。じじくさい・ばばくさいものってなんか嫌ですもんね。

僕の考えを述べると、リアボックスはフルカウルのモデルに単体でつけるとダサいと考えています。フルカウルのバイクはそれ自体でデザインが完結しているので、リアボックスをつけるとなんか取って付けたような形になってしまうんですよね。

とはいえ、ネイキッドのバイクには全然アリだと思っています。僕もYBR125には購入時にわざわざ言ってつけてもらいました。僕にはネイキッドのバイクはカスタマイズしてこそというイメージがあります。

フルカウルのバイクも、リアボックス単体だとダサいですがパニアケースと一緒につけてフルパニアにするとツアラーっぽくなってかっこいいと思います。なぜハコはだめでパニアはいいのかよくわかりませんが...。