ドップラー効果と波数

高校のとき、僕は「ドップラー効果」の導出がどうも苦手だった。それから8年くらい経つことになるが、できる限り普通の人にもわかるように、少し整理してみようと思う。

波動に関する物理量

波動を表す物理量はたくさんある。用語の定義も分野によってまちまちで混乱することも多々ある。

時間に関する物理量

まず、波動とは波源の振動が次々伝わっていくことで起こる。その振動の時間的スケールを定めるものが振動数である。ただし式変形の都合で角振動数を単に振動数と呼ぶこともある。との関係は である。また、主に電気系で、振動数は周波数と呼ばれることもある。また振動数の逆数を周期と言い、1回の振動にかかる時間を表す。

空間に関する物理量

全く同様のことを空間にも当てはめてみよう。空間的に同じ構造が繰り返される長さを波長と呼ぶ。時間的なものに倣って、分光学ではこれの逆数を波数と呼ぶ。ただし式変形の扱いやすさから、波動力学などでは角振動数に当たる を波数と呼ぶ。

以上を用いると、一般的な波動は三角関数を用いて

と表すことができる*1。

定常波の分散関係

との関係を、一般に分散関係と呼ぶ。分散関係は波動の種類ごとに存在し、波動の特性を表しているので、それを見つけることが物理学のいろいろな分野で重要な目標になっている。 定常音波の場合は簡単で、

である。ここでは風がないときの音速であり、単位の組み立てそのままになっている。

波数とドップラー効果

ドップラー効果の導出では「波源から一定時間に放出された波の数が保存する」ことを用いる。これを少し考えてみよう。 風が存在しないとして、音源から観測者に向かう方向を正とした1次元系を考えてみよう。ただし速度は音速と比べて十分遅いとする。

音源が静止する系に移ると、空気は常にで流れている。同様に、観測者が静止する系では常にの風が吹いていることになる。すなわち実際の音速は座標系によって異なっていることになる。ここで次の2つを仮定しよう。

1. 実際の音速は媒質の速度と風がないときの音速の和である。
2. 分散関係は実際の音速が異なる各系で成立する。

この2つと「波数は保存する」ということを用いると、分散関係(1)から次の式が得られる。

これがドップラー効果の式そのものであって、変形して振動数で表すと、

とよく知られたドップラー効果の式を得る。

まとめ

たくさんの覚えなければならないことが出てきて混乱する波動の分野だが、ドップラー効果は「各系での波数が保存する」ということを覚えておけば簡単に導出できることがわかった。

*1:ここで振動数や分光学での波数を用いると、係数にが出てきて不都合である。

新名神開通後の「新木津川橋」を原付で渡ってみた

はじめに

京奈和自動車道の京都府区間は現状では起点の城陽JCTをスタートして新木津川橋で木津川を渡って木津川左岸を通るルート*1になっています。

この新木津川橋は付近に木津川を渡る橋がないことから、生活道路として歩行者、自転車、125cc以下の原付が通行できるようになっていました。新木津川橋のみ自動車専用道路の指定がなく、特に原付に関しては高速道路の本線を通行できるという数少ないスポットになっていました。

しかし新名神高速が城陽JCTまで開通したのに合わせて側道が整備され、自動車以外は側道を通ることになりました。Googleストリートビューも更新されていないので、アクションカメラを付けて突撃してみました。

出入り口の様子。工事中のままになっていますが（2018年1月現在）、現在はこの道が側道になっています。

実際に渡ってみた

城陽側から入る場合、125cc以下は京奈和自動車道の入り口から入ってはいけません。国道24号を京都方面から南下して来た場合は城陽ICに入らずにそのまま直進します。

ある程度進むと道なりに左カーブしていくのですが、その先に交差点があるので右折し、その次の交差点でも右折します。交差点付近には一応「125cc以下京田辺方面」の案内があります。

段々細い道に入っていきますが心配せず進みましょう。

しばらく進むと側道の入り口があります。ストリートビューで示したところが完成しています。

進入禁止の標識がありますが、よく見ると「125cc以下を除く」と補助があるので原付は入れます。その下にスクーターのシルエットの標識のようなものがあります。「125cc以下」とだけ書かれているということは四輪のミニカー*2も入れるはずですが、ポールがあるので物理的に入れなくなっています。ミニカーが締め出されてしまうのもすこし違和感を感じますね。

橋の上は歩行者、自転車、原付で通行帯がわかれており、出入り口付近だけ色分けされています。

料金所は京田辺側にあり、城陽側から入った場合は出口の前にある料金箱に通行料金を投入します。原付は10円です。きちんと払いましょう。

料金所を抜けると本線の料金所からの出口に左折します。速い車も出てくるのでよく確認して出ましょう。

なお京田辺側から入った場合、本線の入り口の料金所の手前で原付専用車線が分かれ、料金を払ってから橋を渡るという流れになります。

*1:ちなみに並走する国道24号は対岸の木津川右岸にあります。城陽JCTで国道24号大久保バイパスに接続しています。

*2:排気量50cc以下の三輪、四輪車。自動車専用道路を定める道路運送車両法上は原付として扱われます。

2018年の抱負

大変遅くなりましたが、明けましておめでとうございます。本年もよろしくお願いします。

今年は就職します

今まで学生だったんですが、今年の4月にIT系の会社に入社します。なので更新の頻度は落ちるかと思います。

目標：バイクを買う

今年から社会人なわけですが、たいてい「時間のある学生時代が終わって好きなことができなくなる」という話をよく聞きます。

ですが正直僕はそこまで悲観はしていません。学生のうちは「金はないけど時間はある」という状態だったのが、社会人は「金はあるけど時間はない」というのに変わるだけだと思っています。むしろ僕はお金がなくて諦めてきたことが多いので、その点では悪くないかなあと思ってます。

そのお金がかかることの筆頭が（僕の中では）バイクや楽器なわけですが、社会人になったら最初のボーナスでCBR400Rを買おうと決めていました。ボーナスを待っていたら季節が一周して冬になってしまうわけですが、それまでにお金をためられて早められたらいいなあと思っています。

新年早々遅れたうえに薄っぺらい内容になりましたが、本年もよろしくお願いします。