こんにちは、青ポス（@bluepost125）です。最近暑いですね

最近相対論の復習をしていて双曲線関数をさわることになったので、チートシートもかねてここに書いておきます。双曲線関数は応用上重要な関数でありながら、あまりしっかり体型立てて学習することが少ないかと思います。

定義

双曲線関数は下記の通り定義されます。

$\displaystyle \mathrm{sinh}(x) \equiv \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2} \\ \displaystyle \mathrm{cosh}(x) \equiv \frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2} \\ \displaystyle \mathrm{tanh}(x) \equiv \frac{\mathrm{sinh}(x)}{\mathrm{cosh}(x)} =\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$

ちなみに三角関数をオイラーの公式で複素数表示すると下記です。双曲線関数は三角関数のアナロジーとして得られることがわかります。したがって似た性質を持つことが予想されます。

$\displaystyle \mathrm{sin}(x) = \frac{\mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{-ix}}{2i} \\ \displaystyle \mathrm{cos}(x) = \frac{\mathrm{e}^{ix}+\mathrm{e}^{-ix}}{2} \\ \displaystyle \mathrm{tan}(x) = \frac{\mathrm{sin}(x)}{\mathrm{cos}(x)} =\frac{\mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{-ix}}{\mathrm{e}^{ix}+\mathrm{e}^{-ix}}$

代数的な関係式

二乗を計算してみます。

$\displaystyle \mathrm{sinh}^2(x) = \frac{\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{-2x}-2}{4} = \frac{1}{2}(\mathrm{cosh}(2x)-1) \\ \displaystyle \mathrm{cosh}^2(x) = \frac{\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{-2x}+2}{4} = \frac{1}{2}(\mathrm{cosh}(2x)+1)$

これを差し引きすると次の関係式が得られます。

$\mathrm{cosh}^2(x) - \mathrm{sinh}^2(x) = 1$

したがって $x=\mathrm{cosh}(\phi), y=\mathrm{sinh}(\phi)$ で表される点の集合が双曲線をなすことがわかります。

定義から $\mathrm{sinh}(x)=\mathrm{cosh}(x)\mathrm{tanh}(x)$ を代入して整理すると、

$(1-\mathrm{tanh}^2(x))\mathrm{cosh}^2(x)=1$

定義より $\mathrm{cosh}(x) \gt 0$ なので、下記の通り $\mathrm{tanh}(x)$ が定まればsinhとcoshも定まることがわかります。

$\displaystyle \mathrm{sinh}(x) = \frac{\mathrm{tanh}(x)}{\sqrt{1-\mathrm{tanh}^2(x)}} \tag{2}$

$\displaystyle \mathrm{cosh}(x) = \frac{1}{\sqrt{1-\mathrm{tanh}^2(x)}} \tag{3}$

微分

定義から簡単に導けます。

$(\mathrm{sinh}(x))' = \mathrm{cosh}(x) \\ (\mathrm{cosh}(x))' = \mathrm{sinh}(x) \\ \displaystyle (\mathrm{tanh}(x))' = \frac{1}{\mathrm{cosh}^2(x)}$

積和公式

積を取って展開してみることで下記の積和公式を得ます。

$\displaystyle \mathrm{cosh}(x)\mathrm{cosh}(y)=\frac{1}{2}(\mathrm{cosh}(x+y)+\mathrm{cosh}(x-y)) \\ \displaystyle \mathrm{sinh}(x)\mathrm{sinh}(y)=\frac{1}{2}(\mathrm{cosh}(x+y)-\mathrm{cosh}(x-y)) \\ \displaystyle \mathrm{sinh}(x)\mathrm{cosh}(y)=\frac{1}{2}(\mathrm{sinh}(x+y)+\mathrm{sinh}(x-y)) \\ \displaystyle \mathrm{cosh}(x)\mathrm{sinh}(y)=\frac{1}{2}(\mathrm{sinh}(x+y)-\mathrm{sinh}(x-y))$

※証明

$\displaystyle \mathrm{cosh}(x)\mathrm{cosh}(y) = \left(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2} \right)\left(\frac{\mathrm{e}^{y}+\mathrm{e}^{-y}}{2} \right) \\ \displaystyle =\frac{1}{4} \left( \mathrm{e}^{x+y} +\mathrm{e}^{x-y} + \mathrm{e}^{-(x+y)} + \mathrm{e}^{-(x-y)} \right) \\ \displaystyle =\frac{1}{2} \left( \frac{\mathrm{e}^{x+y}+ \mathrm{e}^{-(x+y)}}{2} + \frac{\mathrm{e}^{x-y}+ \mathrm{e}^{-(x-y)}}{2}\right) \\ \displaystyle = \frac{1}{2}(\mathrm{cosh}(x+y)+\mathrm{cosh}(x-y))$

加法定理

積和公式を足し引きすることで次の加法定理が得ます。

$\mathrm{cosh}(x\pm y) = \mathrm{cosh}(x)\mathrm{cosh}(y)\pm \mathrm{sinh}(x)\mathrm{sinh}(y) \\ \mathrm{sinh}(x\pm y) = \mathrm{sinh}(x)\mathrm{cosh}(y)\pm \mathrm{cosh}(x)\mathrm{sinh}(y) \\ \displaystyle \mathrm{tanh}(x\pm y) = \frac{\mathrm{tanh}(x) \pm \mathrm{tanh}(y) }{1 \pm \mathrm{tanh}(x)\mathrm{tanh}(y)}$